Spočítejte si...

Zavřít

Jak (vy)hrát?

Celý život hrajeme hry. A to nejen v kasinech a sázkových kancelářích. Doma, v práci, v partnerských vztazích, zkrátka všude se snažíme odhadnout chování svých partnerů a soupeřů, vybíráme nejlepší strategie, uzavíráme koalice. Všimli si toho i ekonomové, a tak teorie her patří již zhruba jedno století k té zábavnější části ekonomické vědy.

Následující text přináší návod k několika hrám. Některé mají své vítězné strategie, jiné nikoliv. Nebudu vás unavovat teorií, pojďme se rovnou podívat na pár zajímavých příkladů.

Přičítání čísel
Jedná se o následující hru pro dva hráče: „Střídavě říkáte čísla od jedničky do desítky. Tato čísla se sčítají a kdo první překročí stovku, prohrál. Jaká je vítězná strategie?“

Pokud dospějete k číslu 99, vyhrál jste. Číslo 99 je tedy vítězné. Tohoto čísla lze dosáhnout tehdy, pokud mu předchází číslo 89–98. Potřebujeme tedy dospět k číslu 88, to je pro nás vítězné. Takto lze pokračovat směrem k počátku hry. Dospějeme k tomu, že nejnižší vítězné číslo je 11. Pak následuje 22, 33, 44, atd. Pro výhru v této hře je tedy třeba nechat začít hrát soupeře a udržovat součet jedenáct. Když soupeř řekne 4, vy řeknete 7. Pokud soupeř hru neprokoukne, není navíc ani nutné trvat na tom, aby začínal.

Mince a stůl
Představte si následující hru pro dva hráče: „Máte dostatečnou zásobu stejných mincí a stůl obdélníkového tvaru. Střídavě pokládáte mince na stůl. Kdo nenajde místo, kam by minci položil, prohrává a všechny mince ze stolu získává soupeř.“ Existuje nějaká vítězná strategie?

Ano. Pokud budete začínat, existuje strategie, která pokaždé vede k vítězství. Stačí první minci umístit přesně doprostřed stolu. Ostatní mince je pak třeba vždy pokládat souměrně (nezáleží na tom, zda středově nebo osově, ale po celou hru stejně) k místu, na které položil minci soupeř. Takové místo totiž musí být vždy volné.

Meeting in New York
Dvěma lidem jsou dány tyto instrukce: „Jeden den, od půlnoci do půlnoci, strávíte vy a vám neznámý člověk v New Yorku. Pokud se vám během tohoto dne podaří ve stejný okamžik a na stejném místě vystřelit tuto světlici, získáte každý milión dolarů. V opačném případě nezíská nikdo nic.“ Jakou zvolíte strategii?

Jelikož vzájemná komunikace je vyloučena, jde o to, odhadnout myšlenkové pochody spoluhráče. Otázka času je triviální. Nejrozumnější je zvolit poledne. Poledne je přesně polovina dne, předěl mezi dopolednem a odpolednem, je to zkrátka „zvláštní okamžik“. Otázka místa je složitější. Jako nejlepší volba se jeví zvolit nejvýše položený bod ve městě, tedy vyhlídku na Empire State Building.

Jiné řešení bude mít tato hra v případě, že víte, že váš spoluhráč je Newyorčan a že váš spoluhráč ví, že vy jste Newyorčan. Dále víte, že ví, že vy víte, že on je Newyorčan, a že ví, že vy víte, že on ví, že jste Newyorčan. V tomto případě se pravděpodobně sejdete na vlakovém nádraží Grand Central Terminal u obřích hodin. Zde se totiž Newyorčané scházejí stejně běžně jako Pražané „u koně“.

Petrohradský paradox
Traduje se, že v jednom petrohradském kasinu vymysleli takovouto hru: Hráč hází mincí, dokud mu nepadne hlava. Objeví-li se hlava při k-tém pokusu, hráč obdrží 2k dolarů. Poté vyvstala otázka: „Kolik by měli hráči platit za lístek do této hry?“

Odpověď byla překvapující. Nekonečno. Očekávaná hodnota hry je totiž rovna

2 x pst (H) + 4 x pst (OH) + 8 x pst (OOH) +… = 2×1/2 + 4×1/4 + 8×1/8 + … = 1 + 1 + 1 + …

Málokdo z nás by však byl ochoten obětovat veškeré svoje jmění za možnost zahrát si tuto hru. Stačí si všimnout, že pravděpodobnost ukončení hry s více jak 8 dolary je pouze 1/8.


Obr. Teorie her pronikla i na plátna našich kin. Russell Crowe coby geniální matematik Nash, otec moderní teorie her, ve filmu Beautiful Mind.

Milenecký spor
Příběh se má takto: "Muž a žena se rozhodují, kam si vyrazí v pátek večer. Muž navrhuje zápas v boxu, žena divadelní představení. Oba dva preferují společně strávený večer před odděleně stráveným večerem. Takže muž by šel nejraději se svou přítelkyní na box, ale pořád raději s ní půjde do divadla než sám na box. Obdobně žena by šla nejraději do divadla, ale také jí je milejší strávit večer se svým přítelem na boxu než jít sama do divadla. Jak dopadne tato hra? Existuje ideální strategie?

Následující tabulka shrnuje preference obou hráčů (vyšší číslo znamená vyšší užitek). Muž hodnotí nejvyšší hodnotou (3) návštěvu boxu se svou přítelkyní, číslem 2 hodnotí návštěvu divadla se svou přítelkyní, číslem 1 návštěvu boxu bez své přítelkyně a číslem 0 ohodnoťme absurdní situaci, že se muž rozhodne jít sám do divadla. Pořadí u ženy je následující: návštěva divadla s přítelem (3), návštěva boxu s přítelem (2), návštěva divadla bez přítele (1) a návštěva boxu bez přítele (0).

Tabulka č. 367
  Muž
Box Divadlo
Žena Box (2,3) (0,0)
Divadlo (1,1) (3,2)

Co se stane, když muž nechá ženě na záznamníku vzkaz, že koupil lístky na box, a že čeká v půl osmé před sportovní halou? Žena má dvě možnosti: buď půjde sama do divadla, což pro ni znamená užitek 1 nebo přijde na box, což pro ni znamená užitek 2. Jelikož 2 > 1, žena přijde na box a hra skončí v levém horním políčku (2,3). V dlouhodobém vztahu ovšem tento trik provozovat nelze. Neznám totiž ženu, kterou by takové chování časem neiritovalo (přiléhavý český ekvivalent nelze publikovat).

Řešením této hry může být tzv. omezení možných strategií. To nastane například tehdy, když žena během zápasu omdlí (alternativně muž při divadelním představení hlasitě chrápe, čímž způsobí společenský trapas). V tom případě skončí milenci příště v divadle a hra se usadí v pravém dolním políčku (3,2). V situaci, kdy žena může pouze do divadla, pohybuje se totiž muž ve spodním řádku tabulky a volí mezi užitkem 1 (sám na boxu) a 2 (s přítelkyní v divadle).

Pokud se partneři nejsou schopni dohodnout, budou týden co týden chodit on na box, ona do divadla a usadí se v levém spodním políčku tabulky (1,1). Všichni vidíme, že to není nejlepší výsledek. Lepší je například uzavřít dohodu, že se bude divadlo a box střídat – jeden týden box, druhý týden divadlo. V tomto případě se budou střídat políčka (3,2) a (2,3) a průměrná výplata bude mít hodnotu 2,5. Pokud je tato hra hrána pouze jednou, je nejlepší strategií zapojit náhodu a hodit si spravedlivou mincí. Pouze tak lze dopředu zajistit nejlepší výsledek – průměrnou výplatu 2,5.

Anketa

Jak byste hráli hru "Meeting in Prague"?